السـلآمُ عليكُم ورحمةُ الله وبركاتـُه








المصفوفات



المصفوفة matrix على حقل[ر] (أو حلقة [ر] تبديلية) F هي مجموعة من عناصر F مرتبة على m سطراً وn عموداً، على شكل مستطيل. تسمى m وn أبعاد المصفوفة dimensions of the matrix، وm x n مرتبة order المصفوفة. يعبر عن العنصر الموجود على السطر i والعمود j بالرمز aij.

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

ولها استخدامات كثيرة في الإحصاء والاحتمال والتجارة، وفي كثير من العلوم الأخرى.

لمحة تاريخية

ظهر مفهوم المصفوفة للمرة الأولى عام 1850 في كتابات عالم الرياضيات الأمريكي (البريطاني المولد) جيمس سيلفيستر James Joseph Sylvester مابين(1814-1897)، مشيراً إلى طريقة التعبير عن المحدَّد[ر]. وفي عام 1855 أوضح العالم الرياضي البريطاني السير آرثر كيليSir Arthur Kelly مابين(1821-1895) أنه يمكن التعبير عن تحويل خطي linear transformation باستخدام المصفوفة .

مثلاً التحويل الخطي

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

يكتب بالشكل

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

وأنه إذا عبّر عن تحويلين خطيين متتالين بمصفوفتيهما، أمكن التعبير عن تركيبهما بمصفوفة ثالثة تنتج وفق قاعدة محددة. مثلاً:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

وهذا ما قاد كيلي إلى اعتبار المصفوفة مفهوماً جبرياً مستقلاً، فعرَّف عملية ضرب مصفوفتين. وفي عام 1858 صاغ مفهوم جبر المصفوفات algebra of matrices. فكان العالم الرياضي الإيرلندي هاملتون William Rowan Hamilton مابين(1805-1865) قد استخدم عام 1853 مفهوم جبر المصفوفات - ولكن تحت اسم آخر - في التوابع الخطية والتوابع المتجهية (الشعاعية) linear and vector functions .

ومنذ
بدايات القرن العشرين بدأ الرياضيون يركّزون انتباههم على التطبيقات
(التحويلات) الخطية[ر] أكثر من المصفوفات التي تمثل هذه التطبيقات، وأصبح
الجبر الخطي هو مجال دراسة التطبيقات الخطية على الفضاءات الشعاعية[ر].

جبر المصفوفات

1) تساوي مصفوفتين: تتساوى مصفوفتان A وB إذا كانتا من مرتبة واحدة، وكان كل عنصر من A يساوي العنصر المقابل له من B. أي إن [aij]mxn = [bij]sxt إذا كانت: m = s وn = t وaij = bij لجميع قيم i وj.

2) جمع مصفوفتين: إذا كانت Mmxn (F) مجموعة كل المصفوفات من المرتبة m x n المعرفة على الحقل F، فإن حاصل جمع مصفوفتين A = [aij] وB = [bij] من المجموعة Mmxn (F) هو مصفوفة ثالثة C = [cij] من المجموعة Mmxn (F) بحيث: cij = aij + bij. أي إن الجمع معرّف على المصفوفات ذات المرتبات المتساوية فقط.

مثال (1): إن

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

- ينتج من التعريف مباشرة: أن الجمع عملية تجميعية وتبديلية أي أن:

(A + B) + C = A + (B + C) وA + B = B + A

وذلك لأي A وB وC من المجموعة Mmxn (F).

2) المصفوفة الصفرية: هي مصفوفة كل عناصرها أصفار. أي أن المصفوفة الصفرية من المرتبة m x n تنتمي للمجموعة Mmxn (F). فهي عنصر حيادي في عملية جمع المصفوفات المعرفة على M m x n (F)، فإذا رمزنا لها بـ O، فإن:

A + O = O + A = A لكل مصفوفة A من Mmxn (F).

2) نظير مصفوفة (النظير الجمعي): إن نظير مصفوفة A = [aij] من المجموعةMmxn (F). هي مصفوفة B = [bij] من Mmxn (F). حيث bij = - aij وذلك من أجل كل قيم i وj. أي إن A + B = B + A = O.

إن كل مصفوفة A من Mmxn (F). لها نظير في Mmxn (F).

أي أن «المجموعة M m x n (F) مع عملية جمع المصفوفات تعد زمرة تبديلية».

3) ضرب مصفوفة بعددscalar multiple : لتكن A = [aij] مصفوفة من Mmxn (F)، وليكن k Î F إن حاصل جداء العدد k بالمصفوفة A، مصفوفة B = [bij] من Mmxn (F).حيث bij = k. aij؛ وذلك من أجل كل قيم i وj.

أي إن B = k A = k. [aij ] = [k. aij].

- يمكن إخراج عامل مشترك بين جميع عناصر مصفوفة.

مثال (2): إن

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال (3): إن

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

4) الفرق بين مصفوفتين: إن الفرق A - B بين مصفوفتين [aij] و[bij] من المجموعة M m x n (F) هو مصفوفة ثالثة C = [cij] من المجموعة Mmxn (F).بحيث: cij = aij - bij. أي إن الفرق A - B = A + (-1). B.

5) حاصل ضرب مصفوفتين: إذا كانت A = [aij] مصفوفة من المرتبة m x n، وكانت B = [bij] مصفوفة من المرتبة n x t، (A وB معرفتان على الحقل نفسه F)؛ فإن الجداء A. B معرّف، وهو مصفوفة C = [cij] من المرتبة m x t، بحيث:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

أي إن الضرب A. B معرّف على مصفوفتين A وB عندما يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى A يساوي عدد أسطر المصفوفة الثانية B فقط. وإن العنصر cij من المصفوفة C ـ الواقع على السطر i والعمود j ـ هو حاصل جمع ناتج ضرب عناصر السطر i من المصفوفة A بمقابلاتها من عناصر العمود j من المصفوفة B.

ومن المهم التنبيه على أن عملية ضرب المصفوفات هي:

أ ) عملية تجميعية.

ب ) ليست تبديلية.

فالمطابقة الجبرية (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 غير صحيحة في حالة المصفوفات؛ (لأن عملية ضرب المصفوفات ليست تبديلية).

مثال (4): إن

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال (5): إن

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

5) المصفوفة المربعة square matrix: هي مصفوفة تساوى فيها عدد الأسطر مع عدد الأعمدة، أي إنها من مرتبة n x n (ويقال اختصاراً من المرتبة n).

6) المصفوفة الحيادية (المحايدة) identity matrix: هي مصفوفة مربعة من المرتبة n، (يرمز لها In)، كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي يساوي الواحد، وبقية عناصرها كلها أصفار.

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

فإذا كانت المصفوفة A من المجموعة Mn (F) (مجموعة كل المصفوفات المربعة من المرتبة n المعرفة على الحقل F)، فإن:

A. In = In. A = A.

7) نظير مصفوفة matrix inverse: إذا كانت A مصفوفة من المجموعة Mn (F) فإن المصفوفة B من Mn (F) التي تحقق الشرط A. B = B. A = In تدعى نظير المصفوفة A بالنسبة إلى عملية الضرب.

ـ ليس من الضروري أن يكون لكل مصفوفة من Mn (F) نظير. فالمصفوفة التي تملك نظيرًا تدعى مصفوفة عكوسة invertible، والتي لا تملك نظيرًا تدعى مصفوفة شاذة singular.

ـ إذا كانت A مصفوفة عكوسة من المجموعة Mn (F)، أي لها نظير في Mn (F)، فإن هذا النظير وحيد.

8) نظير مصفوفة من المرتبة الثانية: تكون المصفوفة

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

عكوسة إذا كان: a.d - b.c ≠ 0. ويكون نظيرها

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

وتكون شاذة إذا كان a. b - b. c = 0.

مثال (6):

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

9) منقول مصفوفة transpose of a matrix: إذا كانت A = [aij] مصفوفة من المرتبة m x n، فإن منقولها هو مصفوفة أعمدتها هي أسطر المصفوفة A، (وأسطرها هي أعمدة المصفوفة A). أي إن منقول المصفوفة A هو مصفوفة B = [bij] من المرتبة n x m حيث :bij = aji وذلك من أجل كل قيم i وj. ويرمز لمنقول A بـ AT.

ـ إن منقول مجموع مصفوفتين يساوي مجموع منقوليهما، أي: (A + B)T = AT + BT

ـ إن منقول جداء مصفوفتين يساوي جداء منقوليهما مع تغيير الترتيب. أي إن: (B. A)T = BT. AT

مثال (7): إن منقول المصفوفة:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

المصفوفة الملحقة adjoint matrix

إذا كانت A = [aij] مصفوفة مربعة من المجموعة Mn (F) فإن محدد المصفوفة A[ر. المحدد] هو العنصر:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

من الحقل F، حيث Aij هي المصفوفة A بعد حذف سطرها i وعمودها j، ويدعى العنصر Dij = (-1)i + j det Aij من الحقل F، العامل المرافق للعنصر aij.

إن المصفوفة [Dij]T ـ التي هي منقول المصفوفة [Dij] - تدعى المصفوفة الملحقة، ويرمز لها بـ adj A.

ويبرهن على أنه: إذا كانت A مصفوفة مربعة من المرتبة n معرفة على حقل F؛ فإن:

A. (adj A) = (adj A). A = (det A). In

ينتج من ذلك أنه: إذا كان A ≠ 0؛ فإن المصفوفة A عكوسة ونظيرها

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال (8):

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

فالمصفوفة A عكوسة، ونظيرها:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال (9):

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

حساب نظير مصفوفة

لحساب نظير مصفوفة A من المجموعة Mn (F):

1) تحسب المحدد det A، فإذا كان det A ≠ 0 فهي عكوسة، ولها نظير، وإلا فهي شاذة، وليس لها نظير.

2) تحسب العوامل المرافقة Dij.

3) تكتب المصفوفة الملحقة adj A = [Dij]T.

4) تكتب النظير [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

علمًا أن هناك طريقة أخرى لإيجاد نظير المصفوفة المربعة A من المجموعة Mn (F) اعتماداً على التحويلات الأولية السطرية على المصفوفة الموسعة [A | In] augmented matrix، وربما هي أسهل من الطريقة السابقة؛ وتدعى الطريقة العملية.

حل جملة معادلات خطية بالطريقة المصفوفية

من التطبيقات المهمة لنظرية المصفوفات إيجاد مجموعة الحل لجملة n معادلة خطية ذات n مجهولاً، بعد التعبير عنها بمعادلة مصفوفية. فجملة المعادلات الخطية:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

(أو بشكل مختصر ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn = bi ; i = 1, 2 …, n)

يمكن كتابتها بالشكل A. X = B حيث: X = [x1 x2 … xn]T وB = [b1 b2 … bn]T

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

فإذا كانت A عكوسة نظيرها: A-1؛ فإن X = A-1. B

ـ يبرهن على أن الشرط اللازم والكافي؛ ليكون لجملة المعادلات الخطية:

ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn = bi ; i = 1, 2 …, n حل وحيد؛ هو أن تكون مصفوفة الأمثال A = [aij] عكوسة.

مثال (10): لحل جملة المعادلات الخطية:

x + 2 y + 4 z = 1

2x + 4 y + 6 z = 1

4x + 6 y + 8 z = -1

تُكتب بالشكل المصفوفي A. X = B أي:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

بضرب طرفي المعادلة بنظير A تصبح X = A-1. B؛ أي

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

ما يمكن إيجاد مجموعة الحل لجملة m معادلة خطية ذات n مجهول، بعد التعبير عنها بمعادلة مصفوفية. فجملة المعادلات الخطية:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

يمكن حلها بعد كتابة المصفوفة الموسعة لها [A | B]؛ أي المصفوفة:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

إجراء بعض التحويلات السطرية الأولية عليها لتصبح مصفوفة مدرجة echelon form (أو مدرجة مختزلة reduced echelon form)، فيحصل على مجموعة الحل لجملة المعادلات الخطية المعطاة.

مصفوفة تطبيق خطي matrix of linear map

التطبيق الخطي: ليكن V وW فضاءين شعاعيين[ر: الفضاء المتجهي] على حقل F.

إن التطبيق [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] دعى تطبيقاً خطيًا من V إلى W إذا حقق الشرطين التاليين:

1) T (v +w) = T (v) +T (w) وذلك مهما تكن v وw من الفضاء المتجهي V.

2) T (a v) = a T (v) وذلك مهما تكن v من V، وa من الحقل F.

بتعبير آخر: التطبيق الخطي هو تشاكل homomorphism من الفضاء V على الفضاء W المعرفين على الحقل F حيث يحافظ على قانوني التشكيل في الفضاء V. فصورة مجموع متجهين (شعاعين) من V؛ تساوي مجموع صورتيهما في W. وصورة حاصل جداء عدد بمتجه من V تساوي جداء العدد بصورة المتجه في W. مع الانتباه لأن (v + w) هو الجمع المعرف على الفضاء V، وأن T (v) + T (w) هو الجمع المعرف على الفضاء W.

وكذلك عمليتا الضرب (av) وaT (v).

المؤثر الخطي linear operator

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مثال (11):

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

مصفوفة التطبيق الخطي: ليكن V وW فضاءين متجهين على حقل F،

وليكن التطبيق [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

تطبيقًا خطيًا من V إلىW، ولتكن A = {a1 , a2 , …, an} قاعدة (أساس) basis للفضاءV، وB = {b1 , b2 , …, bn} قاعدة للفضاء W.

إن مصفوفة مركبات صور عناصر القاعدة A على القاعدة B:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

التي يمثل عمودها j إحداثيات الشعاع (المتجه) T (aj) بالنسبة إلى القاعدة B في الفضاء W تسمى مصفوفة التطبيق الخطي T بالنسبة إلى القاعدتين A وB ويرمز لها بالرمز [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]، أما إذا كانت A وB هما القاعدتين القانونيتين canonical bases في V وW؛ فيرمز لمصفوفة التطبيق T بالرمز M (T) وذلك للسهولة.

واضح أن مصفوفة التطبيق T تتعلق باختيار القاعدتين A وB في V وW؛ وأن عدد أعمدة المصفوفة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] يساوي n، بعد V؛ وأن عدد أسطر المصفوفة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] يساوي m، بعد W.

إن مصفوفة المؤثر الخطي T على فضاء متجهي V بعده n؛ هي مصفوفة مربعة من المرتبة n.

مثال (12): إن مصفوفة المؤثر الخطي:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

بالنسبة إلى القاعدة القانونية A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} هي:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]